与えられた式 $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して因数分解を行います。

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 4a^2b^2 - 4a^2c^2 - 4b^2c^2 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$

$= (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

ここで、式全体に $-4a^2b^2 + 4a^2b^2$ を加えます。

すると、

$(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 4a^2b^2 + 4a^2b^2 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

式を整理すると、

$(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 4b^2c^2 = (a^2 + b^2 + c^2 - 2bc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2bc)$

$= (a^2 + (b-c)^2)(a^2 + (b+c)^2)$

また、与えられた式は次のように変形することもできます。

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2 = (a^2 - b^2 - c^2)^2 - 4b^2c^2$

$= (a^2 - (b^2 + 2bc + c^2))(a^2 - (b^2 - 2bc + c^2))$

$= (a^2 - (b+c)^2)(a^2 - (b-c)^2)$

$= (a - (b+c))(a + (b+c))(a - (b-c))(a + (b-c))$

$= (a - b - c)(a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$

3. 最終的な答え

$(a - b - c)(a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$