3次式 $x^3 - 2x^2 - 11x + 12$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

3次式 $x^3 - 2x^2 - 11x + 12$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を利用して、この式が $(x-a)$ を因数に持つような $a$ を探します。定数項が12であることから、$a$ の候補としては、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ などが考えられます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 - 2(1)^2 - 11(1) + 12 = 1 - 2 - 11 + 12 = 0$ となるため、$x-1$ は与式の因数であることが分かります。

次に、多項式を $x-1$ で割ります。

```

x^2 - x - 12

x - 1 | x^3 - 2x^2 - 11x + 12

x^3 - x^2

---------

-x^2 - 11x

-x^2 + x

---------

-12x + 12

-12x + 12

---------

0

```

したがって、$x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = (x - 1)(x^2 - x - 12)$ となります。

さらに、$x^2 - x - 12$ を因数分解します。この2次式は $(x-4)(x+3)$ と因数分解できます。

最終的に、$x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = (x-1)(x-4)(x+3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x-1)(x-4)(x+3)$