与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列は、等差数列と等比数列の積の和になっています。このような数列の和を求めるには、等比数列の公比を掛けて、元の式との差を計算します。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

両辺に3を掛けます。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

$S$から$3S$を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

括弧の中は等比数列の和なので、

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2}$

したがって、

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1}-1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = -2 + 3^n - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = -2 + 3^n - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = -2 + 2 \cdot 3^n - 2n \cdot 3^n$

$-2S = -2 + (2 - 2n) \cdot 3^n$

$S = 1 + (n-1) \cdot 3^n$

3. 最終的な答え

$S = 1 + (n-1)3^n$