(7) $\alpha$は第1象限の角、$\beta$は第3象限の角であり、$\sin\alpha=\frac{4}{5}$, $\cos\beta=-\frac{5}{13}$のとき、$\sin(\alpha+\beta)$と$\cos(\alpha+\beta)$を求めよ。 (8) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で、$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$のとき、$\sin2\alpha$と$\cos2\alpha$を求めよ。 (9) $\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$を$r\sin(\theta+\alpha)$の形に変形するとき、$r$と$\alpha$を求めよ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$とする。

1. 問題の内容

(7) $\alpha$は第1象限の角、$\beta$は第3象限の角であり、$\sin\alpha=\frac{4}{5}$, $\cos\beta=-\frac{5}{13}$のとき、$\sin(\alpha+\beta)$と$\cos(\alpha+\beta)$を求めよ。

(8) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で、$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$のとき、$\sin2\alpha$と$\cos2\alpha$を求めよ。

(9) $\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$を$r\sin(\theta+\alpha)$の形に変形するとき、$r$と$\alpha$を求めよ。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$とする。

2. 解き方の手順

(7)

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\alpha$は第1象限の角なので、$\cos\alpha>0$。よって、$\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$。

$\beta$は第3象限の角なので、$\sin\beta<0$。よって、$\sin\beta = -\sqrt{1-\cos^2\beta} = -\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$。

$\sin(\alpha+\beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{56}{65}$。

$\cos(\alpha+\beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) - \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$。

(8)

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$なので、$\sin\alpha>0$。よって、$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。

$\sin2\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$。

$\cos2\alpha = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$。

(9)

$\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta = r\sin(\theta+\alpha) = r(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = r\cos\alpha\sin\theta + r\sin\alpha\cos\theta$

よって、

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$

$r\sin\alpha = 1$

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = r^2 = 4$

$r = \sqrt{4} = 2$ (r>0より)

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(7) $\sin(\alpha+\beta) = -\frac{56}{65}$, $\cos(\alpha+\beta) = \frac{33}{65}$

(8) $\sin2\alpha = -\frac{24}{25}$, $\cos2\alpha = -\frac{7}{25}$

(9) $r = 2$, $\alpha = \frac{\pi}{6}$