3次正方行列 $A$ が、任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ (ただし、$\alpha$ はスカラー、 $I$ は単位行列) であることを証明しなさい。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$ が、任意の3次正方行列 $X$ に対して $AX = XA$ を満たすとき、$A = \alpha I$ (ただし、$\alpha$ はスカラー、 $I$ は単位行列) であることを証明しなさい。

2. 解き方の手順

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ とおく。

まず、$X$ として特定の行列を選び、$AX = XA$ の条件から $A$ の成分に関する情報を得る。

(1) $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合を考える。$AX = XA$ より、

$\begin{pmatrix} 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 \\ 0 & a_{31} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{21} = 0$、$a_{31} = 0$、$a_{11} = a_{22}$、$a_{23} = 0$ である。

(2) $X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合を考える。$AX = XA$ より、

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{11} \\ 0 & 0 & a_{21} \\ 0 & 0 & a_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{31} = 0$、$a_{32} = 0$、$a_{11} = a_{33}$、$a_{21} = 0$ である。

(3) $X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合を考える。$AX = XA$ より、

$\begin{pmatrix} a_{12} & 0 & 0 \\ a_{22} & 0 & 0 \\ a_{32} & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$a_{12} = 0$、$a_{32} = 0$、$a_{22} = a_{11}$、$a_{13} = 0$ である。

(4) $X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合を考える。$AX = XA$ より、

$\begin{pmatrix} a_{13} & 0 & 0 \\ a_{23} & 0 & 0 \\ a_{33} & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix}$

したがって、$a_{13} = 0$、$a_{23} = 0$、$a_{33} = a_{11}$、$a_{12} = 0$ である。

以上の結果から、$A$ は対角行列であり、$a_{11} = a_{22} = a_{33}$ であることがわかる。したがって、$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} \end{pmatrix} = a_{11}I$ となる。$\alpha = a_{11}$ とおけば、$A = \alpha I$ である。

3. 最終的な答え

$A = \alpha I$