与えられた問題は全部で5つの小問から構成されています。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} 5x - 2a + 1 > 3x + 7 \\ \frac{2x + 3a}{4} > x - 5 \end{cases}$ が解を持つような $a$ の値の範囲を求めます。 (3) 実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | x < -2, 7 \le x \}$, $B = \{x | x < 3\}$ とするとき、$A \cup \overline{B}$ に属する整数の個数を求めます。ここで、$\overline{B}$ は $B$ の補集合を表します。 (4) 2次関数 $y = x^2 - 4x + a$ のグラフの頂点が直線 $y = -x - 4$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求めます。 (5) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が 1 のとき、$a$ の値を求め、最大値を求めます。 (6) 2次方程式 $3x^2 + (k+2)x + k+2 = 0$ が重解を持つとき、正の定数 $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は全部で5つの小問から構成されています。

(2) 連立不等式 $\begin{cases} 5x - 2a + 1 > 3x + 7 \\ \frac{2x + 3a}{4} > x - 5 \end{cases}$ が解を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

(3) 実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | x < -2, 7 \le x \}$, $B = \{x | x < 3\}$ とするとき、$A \cup \overline{B}$ に属する整数の個数を求めます。ここで、$\overline{B}$ は $B$ の補集合を表します。

(4) 2次関数 $y = x^2 - 4x + a$ のグラフの頂点が直線 $y = -x - 4$ 上にあるとき、定数 $a$ の値を求めます。

(5) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が 1 のとき、$a$ の値を求め、最大値を求めます。

(6) 2次方程式 $3x^2 + (k+2)x + k+2 = 0$ が重解を持つとき、正の定数 $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

まず、それぞれの不等式を解きます。

$5x - 2a + 1 > 3x + 7$ より、

$2x > 2a + 6$

$x > a + 3$

$\frac{2x + 3a}{4} > x - 5$ より、

$2x + 3a > 4x - 20$

$-2x > -3a - 20$

$x < \frac{3a + 20}{2}$

連立不等式が解を持つためには、$a+3 < \frac{3a+20}{2}$ でなければなりません。

$2(a+3) < 3a+20$

$2a + 6 < 3a + 20$

$-a < 14$

$a > -14$

(3)

$A = \{x | x < -2, 7 \le x \}$

$B = \{x | x < 3\}$

$\overline{B} = \{x | x \ge 3\}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -2, 3 \le x \}$

$A \cup \overline{B}$ に属する整数は、$-3, -4, -5, ...$ と $3, 4, 5, ...$ です。

したがって、$A \cup \overline{B}$ に属する整数は無限個存在します。問題文に誤りがある可能性があります。しかし、問題文通りに解釈すると、無限個となります。

(4)

$y = x^2 - 4x + a = (x-2)^2 - 4 + a$

頂点の座標は $(2, -4+a)$ です。

この頂点が直線 $y = -x - 4$ 上にあるので、

$-4+a = -2 - 4$

$-4+a = -6$

$a = -2$

(5)

$y = 2x^2 - 4x + a = 2(x^2 - 2x) + a = 2(x-1)^2 - 2 + a$

$0 \le x \le 3$ における最小値は、$x = 1$ のときで、$y = -2+a$ となります。

$-2 + a = 1$ より、$a = 3$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3-1)^2 - 2 + 3 = 2(4) + 1 = 9$

したがって、最大値は 9 です。

(6)

2次方程式 $3x^2 + (k+2)x + k+2 = 0$ が重解を持つためには、判別式 $D = 0$ でなければなりません。

$D = (k+2)^2 - 4(3)(k+2) = 0$

$(k+2)(k+2 - 12) = 0$

$(k+2)(k-10) = 0$

$k = -2, 10$

正の定数 $k$ の値を求めるので、$k = 10$ です。

3. 最終的な答え

(2) $a > -14$

(3) 無限個

(4) $a = -2$

(5) $a = 3$、最大値は 9

(6) $k = 10$