## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(5) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、2つの弦AB, CDの交点をPとする。AP = 5, BP = 2, CP = 3であるとき、DPの長さを求めよ。

(6) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。AB = 7, PB = 8, CD = 2であるとき、PCの長さを求めよ。

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2. 解き方の手順

**(5) について**

円の内部で交わる2つの弦に関する公式を用います。

$AP \cdot BP = CP \cdot DP$

これに与えられた値を代入します。

$5 \cdot 2 = 3 \cdot DP$

$10 = 3 \cdot DP$

両辺を3で割ると、

$DP = \frac{10}{3}$

**(6) について**

円の外で交わる2つの直線に関する公式を用います。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

ここで、$PA = AB + PB = 7 + 8 = 15$, $PD = PC + CD = PC + 2$

公式に代入すると、

$15 \cdot 8 = PC \cdot (PC + 2)$

$120 = PC^2 + 2PC$

$PC^2 + 2PC - 120 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を利用すると、

$(PC + 12)(PC - 10) = 0$

$PC = -12$ または $PC = 10$

長さは負の値を取らないので、$PC = 10$

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3. 最終的な答え

(5) DP = $\frac{10}{3}$

(6) PC = 10