四角形ABCDが円に内接しており、各辺の長さが与えられている。 (1) $\cos{\angle ABC}$, ACの長さ、円Oの半径を求める。 また、選択肢の中から適切なものを選ぶ。 (2) 点Eを定め、$\angle DAE$, DE, AEの長さを求め、四角形AECDの面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、各辺の長さが与えられている。

(1) $\cos{\angle ABC}$, ACの長さ、円Oの半径を求める。

また、選択肢の中から適切なものを選ぶ。

(2) 点Eを定め、$\angle DAE$, DE, AEの長さを求め、四角形AECDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて$\cos{\angle ABC}$を求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

円に内接する四角形では、対角の和が180度になるので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^\circ - \angle ABC)} = -\cos{\angle ABC}$

$3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos{\angle ABC} = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot (-\cos{\angle ABC})$

$9 + 64 - 48\cos{\angle ABC} = 25 + 9 + 30\cos{\angle ABC}$

$73 - 48\cos{\angle ABC} = 34 + 30\cos{\angle ABC}$

$39 = 78\cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC} = \frac{39}{78} = \frac{1}{2}$

$AC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$

$\sin{\angle ABC} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle ABC}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB \cdot \sin{\angle ABC} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$CD \cdot \sin{\angle ADC} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

よって、$AB \cdot \sin{\angle ABC} = CD \cdot \sin{\angle ADC}$

また、$AB \cdot \sin{\angle ABC} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$DA \cdot \sin{\angle ADC} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

よって、$AB \cdot \sin{\angle ABC} \neq DA \cdot \sin{\angle ADC}$

(2)

四角形AECDが台形であるとき、$AD // EC$

$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$より、$\angle ABC = 120^\circ$

$\angle AEC = \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 60^\circ$

$\angle DAE = \angle BAC$

$\angle BAC = \theta$とすると、余弦定理より

$7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos{\angle ABC}$

$49 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{9 + 49 - 64}{42} = \frac{-6}{42} = -\frac{1}{7}$

$\angle DAE = \angle BAC = 180^\circ - \angle CED = 180^\circ - (180^\circ - \angle ADC)=60^{\circ}$ではない。

$\angle ABC=120^\circ$なので、弧ACに対する円周角は$60^\circ$

$\angle DAE=\angle BAC=60^{\circ}$だから、$\angle DAE$は$60^\circ$。

$\angle DAE=60^\circ$

$\angle AED=120^\circ$となるから、$\angle DEC=180^\circ -120^\circ = 60^\circ$

$AC=7, \angle DAC = \alpha, \angle DEC=60^\circ$, 四角形AECDは円に内接するので、

$\angle DAC + \angle DEC=180^\circ$

$\angle DAC=120^\circ$

$\angle DAE=60^\circ$なので、$\angle CAE = \angle DAC - \angle DAE = 60^\circ$

よって、三角形ADEは正三角形だから、$DE=AD=5$

$\frac{AE}{\sin \angle ADE}=\frac{DE}{\sin \angle DAE} = \frac{5}{\sin 60}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

正三角形だから、$AE=AD=DE=5$

台形AECDの面積は、$\frac{1}{2} (AE+CD) \times DE \times \sin{60} = \frac{1}{2} (5+3) \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\cos{\angle ABC} = \frac{1}{2}$

$AC = 7$

円Oの半径は $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

キ: 0, ク: 4

$\angle DAE = 60^\circ$

$DE = 5$

$AE = 5$

四角形AECDの面積は $10\sqrt{3}$