2点 A(3, 0) と B(-5, 4) から等距離にある点 P の軌跡を求め、直線 $ax - y + b = 0$ の形で表すとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2点 A(3, 0) と B(-5, 4) から等距離にある点 P の軌跡を求め、直線 $ax - y + b = 0$ の形で表すとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$ とします。点Pが点A, Bから等距離にあるという条件は、PA = PB と表せます。両辺を2乗すると $PA^2 = PB^2$ となります。

$PA^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$PB^2 = (x - (-5))^2 + (y - 4)^2 = (x + 5)^2 + (y - 4)^2 = x^2 + 10x + 25 + y^2 - 8y + 16$

$PA^2 = PB^2$ より、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + 10x + 25 + y^2 - 8y + 16$

$-6x + 9 = 10x + 25 - 8y + 16$

$-6x - 10x + 8y = 25 + 16 - 9$

$-16x + 8y = 32$

両辺を8で割ると、

$-2x + y = 4$

$y = 2x + 4$

これを $ax - y + b = 0$ の形に書き換えると、

$2x - y + 4 = 0$

3. 最終的な答え

直線 $2x - y + 4 = 0$

ア = 2

イ = 4