2点 $A(-3, 0)$、 $B(4, 0)$ からの距離の比が $5:2$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(-3, 0)$、 $B(4, 0)$ からの距離の比が $5:2$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

$AP : BP = 5 : 2$ であるから、$2AP = 5BP$ が成り立ちます。

ここで、$AP = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$、$BP = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$ です。

したがって、$2\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 5\sqrt{(x-4)^2 + y^2}$ となります。

両辺を2乗すると、$4((x+3)^2 + y^2) = 25((x-4)^2 + y^2)$ となります。

これを展開すると、$4(x^2 + 6x + 9 + y^2) = 25(x^2 - 8x + 16 + y^2)$

$4x^2 + 24x + 36 + 4y^2 = 25x^2 - 200x + 400 + 25y^2$

$0 = 21x^2 - 224x + 21y^2 + 364$

$21x^2 - 224x + 21y^2 + 364 = 0$

$x^2 - \frac{32}{3}x + y^2 + \frac{52}{3} = 0$

平方完成すると、

$(x - \frac{16}{3})^2 - (\frac{16}{3})^2 + y^2 + \frac{52}{3} = 0$

$(x - \frac{16}{3})^2 + y^2 = \frac{256}{9} - \frac{156}{9}$

$(x - \frac{16}{3})^2 + y^2 = \frac{100}{9}$

$(x - \frac{16}{3})^2 + y^2 = (\frac{10}{3})^2$

これは、中心 $(\frac{16}{3}, 0)$、半径 $\frac{10}{3}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

中心 $(\frac{16}{3}, 0)$、半径 $\frac{10}{3}$ の円