点PがAを出発してからの時間 $x$ 秒後の三角形APCの面積を $y$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 点PがAを出発してから3秒後の $y$ の値を求める。 (2) 点Pが辺AB上を動くときの $x$ と $y$ の関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。 (3) 点Pが辺BC上を動くときの $x$ の変域を求め、CPの長さを $x$ の式で表し、$y$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

点PがAを出発してからの時間 $x$ 秒後の三角形APCの面積を $y$ cm$^2$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 点PがAを出発してから3秒後の $y$ の値を求める。

(2) 点Pが辺AB上を動くときの $x$ と $y$ の関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。

(3) 点Pが辺BC上を動くときの $x$ の変域を求め、CPの長さを $x$ の式で表し、$y$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後のAPの長さは $3$ cmである。

三角形APCの面積 $y$ は、底辺APが $3$ cm、高さが $4$ cmであるから、

$y = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$。

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、$0 \le x \le 10$ である。

三角形APCの面積 $y$ は、底辺APが $x$ cm、高さが $4$ cmであるから、

$y = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$。

これは $x$ の増加に伴い $y$ も増加するグラフである。

$x=0$ のとき $y=0$、$x=10$ のとき $y=20$ である。

したがって、グラフは④である。

(3) 点Pが辺BC上を動くとき、点PがAを出発してから10秒後にBに到達し、さらにBC上を移動するので、$10 \le x \le 14$ である。

CPの長さは、BCの長さが4cmであるから、CP = $(14-x)$ cm。

三角形APCの面積 $y$ は、底辺CPが $(14-x)$ cm、高さが $10$ cmであるから、

$y = \frac{1}{2} \times (14-x) \times 10 = 5(14-x) = 70 - 5x = -5x + 70$。

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) ④

(3) 10 ≤ x ≤ 14

CP = (14 - x) cm

y = -5x + 70