実数 $m$ に対して、円 $x^2 + y^2 - 9mx - 2m^2y + m^4 + 20m^2 - 1 = 0$ の中心Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $m$ に対して、円 $x^2 + y^2 - 9mx - 2m^2y + m^4 + 20m^2 - 1 = 0$ の中心Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた円の方程式を平方完成します。

\begin{align*}

x^2 - 9mx + y^2 - 2m^2y + m^4 + 20m^2 - 1 &= 0 \\

\left(x^2 - 9mx + \left(\frac{9m}{2}\right)^2\right) + \left(y^2 - 2m^2y + (m^2)^2\right) &= \left(\frac{9m}{2}\right)^2 + (m^2)^2 - (m^4 + 20m^2 - 1) \\

\left(x - \frac{9m}{2}\right)^2 + (y - m^2)^2 &= \frac{81m^2}{4} + m^4 - m^4 - 20m^2 + 1 \\

\left(x - \frac{9m}{2}\right)^2 + (y - m^2)^2 &= \frac{81m^2 - 80m^2}{4} + 1 \\

\left(x - \frac{9m}{2}\right)^2 + (y - m^2)^2 &= \frac{m^2}{4} + 1

\end{align*}

したがって、円の中心Pの座標は $\left(\frac{9m}{2}, m^2\right)$ です。

円を表すためには、半径の2乗である $\frac{m^2}{4} + 1$ が正である必要がありますが、これは常に成り立ちます。

中心Pの座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{9m}{2}$

$y = m^2$

$m = \frac{2x}{9}$ となるので、$y$ を $x$ で表すと、

$y = \left(\frac{2x}{9}\right)^2 = \frac{4}{81}x^2$

3. 最終的な答え

ウ: 9m/2

エ: m²

オ: m²/4 + 1

カ: 9m/2

キ: m²

ク: 4

ケコ: 81

放物線 $y = \frac{4}{81}x^2$