三角形ABCにおいて、点Qが辺ABを2:3に内分し、点Rが辺BCを4:5に内分するとき、線分COとOQの比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺ABを2:3に内分し、点Rが辺BCを4:5に内分するとき、線分COとOQの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を使います。三角形ABRと直線CQについて、以下の式が成り立ちます。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

問題文より、$AQ:QB = 2:3$ なので、$\frac{AQ}{QB} = \frac{2}{3}$。また、$BR:RC = 4:5$なので、$BC:CR = (4+5):5 = 9:5$。よって、$\frac{BC}{CR} = \frac{9}{5}$。

上記のメネラウスの定理の式にこれらの値を代入すると、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{18}{15} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{5}{6}$

したがって、$OA:RO = 6:5$。

次に、チェバの定理を使います。三角形ABCに点Oがあるとき、以下の式が成り立ちます。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

ここで、点Pは直線AOと辺BCの交点です。問題文では与えられていないので、新たに設定します。

$\frac{AQ}{QB} = \frac{2}{3}$、$\frac{BR}{RC} = \frac{4}{5}$なので、これを代入すると、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{8}{15} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{15}{8}$

ここで、ベクトルを使って考えます。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とします。

点Qは辺ABを2:3に内分するので、$\vec{OQ} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$。

点Rは辺BCを4:5に内分するので、$\vec{OR} = \frac{5\vec{b} + 4\vec{c}}{9}$。

また、$\vec{OP} = \frac{8\vec{a}+15\vec{c}}{23}$。

ここで、CO:OQの比を求めたいので、ベクトル$\vec{OC}$と$\vec{OQ}$の関係を見る必要があります。

点Oは三角形ABCの内部にあるので、AO,BO,COの延長線はそれぞれ対辺と交わります。

問題文の図より、点Oは三角形ABCの内部にあり、AQ:QB=2:3、BR:RC=4:5なので、CO:OQを求めるために、まずはOQをCOとOAの線形結合で表すことを考えます。

しかし、この問題では、メネラウスの定理を使うことで直接的にCO:OQを求めることができます。

三角形ABRと直線CQに注目すると、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

が成立します。$\frac{AQ}{QB}=\frac{2}{3}$, $\frac{BC}{CR}=\frac{4+5}{5}=\frac{9}{5}$なので、代入して、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{RO}{OA}=1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{RO}{OA}=1$

$\frac{RO}{OA}=\frac{5}{6}$

$OA:OR = 6:5$

よって，$AR:AO=11:6$

次に三角形CBQと直線ARに注目すると、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OQ}{QB}=1$

$\frac{BR}{RC} = \frac{4}{5}$、$\frac{QB}{AQ}=\frac{3}{2}$

$\frac{OQ}{QB} = \frac{5}{3}$

$\frac{OQ}{AQ}=\frac{10}{6}$

$\frac{OC}{CQ}=\frac{41}{24}$

チェバの定理より，

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{15}{8}$

$\vec{OC} = x\vec{OQ}$とおくと、$CO:OQ = x:1$となる。

ここで、メネラウスの定理を用いると、CO:OQ = 8:3になる。

3. 最終的な答え

CO:OQ = 8 : 3