逆円錐形の容器に一定の速度で水を注ぎます。深さの半分まで水を入れるのに20分かかりました。容器がいっぱいになるまで、あと何分かかるかを求める問題です。円錐の体積の公式は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で与えられています。

1. 問題の内容

逆円錐形の容器に一定の速度で水を注ぎます。深さの半分まで水を入れるのに20分かかりました。容器がいっぱいになるまで、あと何分かかるかを求める問題です。円錐の体積の公式は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、容器の深さを $H$ 、半径を $R$ とします。深さの半分まで水を入れたときの深さを $H/2$ とします。このときの半径を $r$ とします。相似な関係から、$r = R/2$ となります。

深さ $H/2$ までの水の体積 $V_1$ は、

$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 (\frac{H}{2}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{R}{2})^2 (\frac{H}{2}) = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{4} \frac{H}{2} = \frac{1}{24} \pi R^2 H$

容器全体の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

$V_1$ に20分かかったので、単位時間あたりの水の注入速度を $v$ とすると、$V_1 = 20v$ が成り立ちます。

$20v = \frac{1}{24} \pi R^2 H$

次に、容器がいっぱいになるまでにかかる時間を $t$ とすると、$V = tv$ が成り立ちます。

$tv = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

これらの式から $v$ を消去します。

$v = \frac{1}{480} \pi R^2 H$

$t (\frac{1}{480} \pi R^2 H) = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

$t = \frac{480}{3} = 160$

よって、容器全体を満たすには160分かかります。深さの半分まで満たすのに20分かかっているので、残り時間は $160 - 20 = 140$ 分となります。

3. 最終的な答え

140分