次の数列の極限を求める問題です。 (1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ (2) $a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1)$ (3) $a_n = \frac{n^n}{n!}$ (4) $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$

1. 問題の内容

次の数列の極限を求める問題です。

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

(2) $a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1)$

(3) $a_n = \frac{n^n}{n!}$

(4) $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

$n \to \infty$ のとき、分母が無限大に発散し、分子は-1と1の間で振動します。したがって、この数列の極限は0です。

(2) $a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1)$

$\sqrt{1-\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{n}) + O(\frac{1}{n^2})$ とテイラー展開できます。

したがって、

$a_n = n(1 - \frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^2}) - 1) = n(-\frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^2})) = -\frac{1}{2} + O(\frac{1}{n})$

$n \to \infty$のとき、$a_n \to -\frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{n^n}{n!}$

$a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1)n!} = \frac{(n+1)^n}{n!}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^n / n!}{n^n / n!} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = (\frac{n+1}{n})^n = (1 + \frac{1}{n})^n$

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e > 1$なので、数列$a_n$は発散します。$a_n > 0$なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$

(4) $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$

$a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n} = \frac{2^{n^2}}{n^n} = \frac{(2^n)^n}{n^n} = (\frac{2^n}{n})^n$

$b_n = \frac{2^n}{n}$ とすると、

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}/(n+1)}{2^n/n} = \frac{2^{n+1} n}{2^n (n+1)} = \frac{2n}{n+1} = \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} \to 2$ ($n \to \infty$)

よって、十分大きい$n$に対して$b_{n+1} > b_n$。つまり、$b_n$は単調増加。また、$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n} = \infty$である。

$a_n = (\frac{2^n}{n})^n$において、$\frac{2^n}{n} \to \infty$であるため、$a_n \to \infty$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $\infty$

(4) $\infty$