全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ と、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ および $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられています。 (1) $A$ の補集合 $A^c$ (2) $B$ の補集合 $B^c$ (3) $A \cup B$ の補集合 $(A \cup B)^c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ と、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ および $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられています。

(1) $A$ の補集合 $A^c$

(2) $B$ の補集合 $B^c$

(3) $A \cup B$ の補集合 $(A \cup B)^c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の補集合 $A^c$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めたものです。つまり、$A^c = U - A$ です。

$A^c = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{1, 2, 3\} = \{4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $B$ の補集合 $B^c$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素を集めたものです。つまり、$B^c = U - B$ です。

$B^c = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 3, 5, 7\}$

(3) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合であり、$A$ または $B$ に含まれる要素を集めたものです。

$A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$

$(A \cup B)^c$ は、$A \cup B$ の補集合であり、全体集合 $U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素を集めたものです。つまり、$(A \cup B)^c = U - (A \cup B)$ です。

$(A \cup B)^c = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} - \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} = \{5, 7\}$

3. 最終的な答え

(1) $A^c = \{4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $B^c = \{1, 3, 5, 7\}$

(3) $(A \cup B)^c = \{5, 7\}$