次の式を計算し、答えが分数になる場合は分母を有理化してください。 $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

次の式を計算し、答えが分数になる場合は分母を有理化してください。

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

最初の分数 $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$

次の分数 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{3}+1$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{2} = 3+\sqrt{3}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\sqrt{5}+\sqrt{3} - (3+\sqrt{3}) = \sqrt{5}+\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} = \sqrt{5} - 3$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}-3$