2次方程式 $2x^2 - 6x + 15 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 6x + 15 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $2x^2 - 6x + 15 = 0$ において、$a = 2$、$b = -6$、$c = 15$ です。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{2} = 3$

$\alpha\beta = \frac{15}{2}$

次に、求める式 $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ を変形します。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここで、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を代入します。

$\alpha\beta(\alpha + \beta) = \frac{15}{2} \times 3$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{2} \times 3 = \frac{45}{2}$

したがって、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \frac{45}{2}$