(1) 25! を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか求めます。 (2) 直線 $y = -x + 6$ が円 $x^2 + y^2 = 25$ によって切り取られる弦の長さを求めます。 (3) 円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$ と直線 $x + 2y = 5$ の2つの交点と点 (3, 2) を通る円の中心と半径を求めます。 (4) 直線 $l: x + 2y - 3 = 0$ に関して、点 $P(0, -2)$ と対称な点 $Q$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 25! を計算したとき、末尾に0が連続して何個並ぶか求めます。

(2) 直線 $y = -x + 6$ が円 $x^2 + y^2 = 25$ によって切り取られる弦の長さを求めます。

(3) 円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$ と直線 $x + 2y = 5$ の2つの交点と点 (3, 2) を通る円の中心と半径を求めます。

(4) 直線 $l: x + 2y - 3 = 0$ に関して、点 $P(0, -2)$ と対称な点 $Q$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

25! の末尾に連続する 0 の個数を求めるには、25! が 10 で何回割り切れるかを調べます。10 = 2 × 5 なので、25! に含まれる 5 の因数の個数を調べれば十分です。25 までの整数のうち、5 の倍数は 5, 10, 15, 20, 25 の 5 個です。さらに、25 = 5 × 5 なので、5 の因数はもう 1 個追加されます。したがって、25! に含まれる 5 の因数は 5 + 1 = 6 個です。

(2)

円 $x^2 + y^2 = 25$ の中心は原点 (0, 0) であり、半径は 5 です。直線 $y = -x + 6$ と原点の距離 $d$ を求めます。

$x + y - 6 = 0$ より、点と直線の距離の公式から、$d = \frac{|0 + 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

弦の長さを $l$ とすると、三平方の定理より、$(l/2)^2 + d^2 = 5^2$

$(l/2)^2 + (3\sqrt{2})^2 = 25$

$(l/2)^2 + 18 = 25$

$(l/2)^2 = 7$

$l/2 = \sqrt{7}$

$l = 2\sqrt{7}$

(3)

円 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 3 = 0$ は、$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$ と変形できるので、中心は (1, 2) で半径は $2\sqrt{2}$ です。

直線 $x + 2y = 5$ との交点を求めます。$x = 5 - 2y$ を円の式に代入すると、

$(5 - 2y)^2 + y^2 - 2(5 - 2y) - 4y - 3 = 0$

$25 - 20y + 4y^2 + y^2 - 10 + 4y - 4y - 3 = 0$

$5y^2 - 20y + 12 = 0$

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 240}}{10} = \frac{20 \pm \sqrt{160}}{10} = \frac{20 \pm 4\sqrt{10}}{10} = 2 \pm \frac{2\sqrt{10}}{5}$

$x = 5 - 2y = 5 - 2(2 \pm \frac{2\sqrt{10}}{5}) = 5 - 4 \mp \frac{4\sqrt{10}}{5} = 1 \mp \frac{4\sqrt{10}}{5}$

2つの交点は、$(1 + \frac{4\sqrt{10}}{5}, 2 - \frac{2\sqrt{10}}{5})$ と $(1 - \frac{4\sqrt{10}}{5}, 2 + \frac{2\sqrt{10}}{5})$ です。

求める円の中心を (a, b) とすると、中心 (a, b) は3点からの距離が等しい。

よって、$r^2=(a-3)^2+(b-2)^2$

$r^2=(a-(1 + \frac{4\sqrt{10}}{5}))^2+(b-(2 - \frac{2\sqrt{10}}{5}))^2$

$r^2=(a-(1 - \frac{4\sqrt{10}}{5}))^2+(b-(2 + \frac{2\sqrt{10}}{5}))^2$

連立方程式を解くと、a=3, b=2となります。よって中心(3,2)

円の中心が(3,2)ということは、(3,2)を通る円で、中心が(3,2)なので、半径0になります。

(4)

直線 $l: x + 2y - 3 = 0$ に関して、点 $P(0, -2)$ と対称な点 $Q(x, y)$ を求めます。

線分 $PQ$ の中点 $(\frac{x}{2}, \frac{y-2}{2})$ は直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{x}{2} + 2(\frac{y-2}{2}) - 3 = 0$

$x + 2(y-2) - 6 = 0$

$x + 2y - 10 = 0$

直線 $PQ$ は直線 $l$ と垂直なので、傾きの積は -1 です。

直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ なので、直線 $PQ$ の傾きは 2 です。

$\frac{y - (-2)}{x - 0} = 2$

$y + 2 = 2x$

$y = 2x - 2$

$x + 2(2x - 2) - 10 = 0$

$x + 4x - 4 - 10 = 0$

$5x = 14$

$x = \frac{14}{5}$

$y = 2(\frac{14}{5}) - 2 = \frac{28}{5} - \frac{10}{5} = \frac{18}{5}$

したがって、$Q(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$

3. 最終的な答え

(1) 6 個

(2) $2\sqrt{7}$

(3) 中心：(3, 2)、半径：0

(4) $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$