与えられた極限を計算する問題です。 極限は $\lim_{h \to +0} \left( e^h + \frac{e^h - 1}{h} \right)$ です。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

極限は

$\lim_{h \to +0} \left( e^h + \frac{e^h - 1}{h} \right)$

です。

2. 解き方の手順

まず、極限の性質を利用して、和の極限を極限の和に分解します。

$\lim_{h \to +0} \left( e^h + \frac{e^h - 1}{h} \right) = \lim_{h \to +0} e^h + \lim_{h \to +0} \frac{e^h - 1}{h}$

次に、それぞれの極限を計算します。

$e^h$は$h$について連続なので、

$\lim_{h \to +0} e^h = e^0 = 1$

また、$\lim_{h \to +0} \frac{e^h - 1}{h}$は、$e^x$の$x=0$における微分係数の定義そのものです。

つまり、

$\lim_{h \to +0} \frac{e^h - e^0}{h-0} = \frac{d}{dx} e^x \Big|_{x=0} = e^x \Big|_{x=0} = e^0 = 1$

したがって、

$\lim_{h \to +0} \left( e^h + \frac{e^h - 1}{h} \right) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{h \to +0} \left( e^h + \frac{e^h - 1}{h} \right) = 2$