$x$ が無限大に近づくときの $(1 + \frac{1}{x})^x$ の極限が $e$ であることを、ロピタルの定理を使用せずに示す。

1. 問題の内容

$x$ が無限大に近づくときの $(1 + \frac{1}{x})^x$ の極限が $e$ であることを、ロピタルの定理を使用せずに示す。

2. 解き方の手順

まず、$n$ を自然数として、二項定理を用いて $(1 + \frac{1}{n})^n$ を展開する。

$(1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\frac{1}{n})^k$

$= \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k}$

$= \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!n^k}$

$= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1)(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})$

$n \to \infty$ のとき、各 $k$ に対して $(1-\frac{1}{n}), (1-\frac{2}{n}), ..., (1-\frac{k-1}{n})$ はすべて 1 に収束する。したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

次に、$x$ を実数とする。

$n \le x < n+1$ を満たす自然数 $n$ が存在する。

このとき、$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \le \frac{1}{n}$ となる。

したがって、$1+\frac{1}{n+1} < 1+\frac{1}{x} \le 1+\frac{1}{n}$ が成立する。

$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ が成立する。

$(1+\frac{1}{n+1})^n = (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} (1+\frac{1}{n+1})^{-1}$ と

$(1+\frac{1}{n})^{n+1} = (1+\frac{1}{n})^{n} (1+\frac{1}{n})$ について、

$n \to \infty$ とすると、それぞれ $e \cdot 1 = e$ と $e \cdot 1 = e$ に収束する。

挟みうちの原理より、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$