$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ をロピタルの定理を使わずに示す。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ をロピタルの定理を使わずに示す。

2. 解き方の手順

まず、$n$ を自然数として、数列 $(1 + \frac{1}{n})^n$ の極限が $e$ であることを示す。

二項定理を用いて展開する。

$(1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\frac{1}{n})^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n})...(1 - \frac{k-1}{n})$

ここで、$\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k} < 1$ であるから、

$(1 + \frac{1}{n})^n < \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

また、任意の $m \le n$ に対して、

$\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n})...(1 - \frac{k-1}{n}) \le (1 + \frac{1}{n})^n$

$n \to \infty$ とすると、

$\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!} \le \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

$m \to \infty$ とすると、

$e \le \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

よって、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ となる。

$x \to \infty$ のときを考える。

$n = [x]$ とする。ここで $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。

このとき、$n \le x < n+1$ である。

$(1 + \frac{1}{n+1})^n < (1 + \frac{1}{x})^x < (1 + \frac{1}{n})^{n+1}$

$(1 + \frac{1}{n+1})^n = \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{1 + \frac{1}{n+1}} \to \frac{e}{1} = e \quad (n \to \infty)$

$(1 + \frac{1}{n})^{n+1} = (1 + \frac{1}{n})^n (1 + \frac{1}{n}) \to e \cdot 1 = e \quad (n \to \infty)$

したがって、はさみうちの原理より $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ となる。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$