反比例のグラフ $y = \frac{12}{x}$ 上に2点A, Bがある。点Aのx座標は-6, 点Bのx座標は4である。y軸上に点Cがあり、そのy座標は-5である。 (1) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。 (2) 三角形ACBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

反比例のグラフ $y = \frac{12}{x}$ 上に2点A, Bがある。点Aのx座標は-6, 点Bのx座標は4である。y軸上に点Cがあり、そのy座標は-5である。

(1) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。

(2) 三角形ACBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点A, Bの座標を求める。

点Aのx座標は-6なので、y座標は $y = \frac{12}{-6} = -2$。よって、A(-6, -2)。

点Bのx座標は4なので、y座標は $y = \frac{12}{4} = 3$。よって、B(4, 3)。

2点A, Bを通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

A, Bの座標を代入すると、

$-2 = -6a + b$

$3 = 4a + b$

2つの式を連立して解く。

下の式から上の式を引くと、

$3 - (-2) = 4a - (-6a) + b - b$

$5 = 10a$

$a = \frac{1}{2}$

$3 = 4 \times \frac{1}{2} + b$

$3 = 2 + b$

$b = 1$

したがって、直線ABの式は $y = \frac{1}{2}x + 1$ である。

(2)

三角形ACBの面積を求める。点Cの座標は(0, -5)である。

三角形ACBの面積は、線分ABを底辺と見なすよりも、線分ACと線分BCを考えると良い。

直線ABとy軸の交点をDとすると、Dの座標は(0, 1)である。

三角形ACBの面積は、三角形ADBの面積と三角形CDBの面積の和で求められる。

ACを底辺とすると、高さは6となる。

BCを底辺とすると、高さは4となる。

CD = 1 - (-5) = 6。

三角形ACBの面積 = 三角形ABC = 三角形ADC + 三角形BDC = 1/2 * 6 * 6 + 1/2 * 6 * 4 = 18 + 12 = 30。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + 1$

(2) 30