与えられた3つの数、(1) $0.5^{10}$、(2) $0.3^{10}$、(3) $(\frac{1}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、必要に応じて常用対数表を用いることを前提とします。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、(1) $0.5^{10}$、(2) $0.3^{10}$、(3) $(\frac{1}{3})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、必要に応じて常用対数表を用いることを前提とします。

2. 解き方の手順

各数について、常用対数を取り、その値から小数で表したときの桁数を推測します。

(1) $0.5^{10}$ について

$A = 0.5^{10}$ とおくと、

$\log_{10}A = \log_{10} (0.5^{10}) = 10 \log_{10} 0.5 = 10 \log_{10} \frac{1}{2} = 10 (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) = 10 (0 - \log_{10} 2)$

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$ とすると、

$\log_{10}A = 10(-0.3010) = -3.010 = -4 + 0.990$

これは、小数第4位に初めて0でない数字が現れることを意味します。

(2) $0.3^{10}$ について

$B = 0.3^{10}$ とおくと、

$\log_{10}B = \log_{10} (0.3^{10}) = 10 \log_{10} 0.3 = 10 \log_{10} \frac{3}{10} = 10 (\log_{10} 3 - \log_{10} 10) = 10 (\log_{10} 3 - 1)$

$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ とすると、

$\log_{10}B = 10(0.4771 - 1) = 10(-0.5229) = -5.229 = -6 + 0.771$

これは、小数第6位に初めて0でない数字が現れることを意味します。

(3) $(\frac{1}{3})^{30}$ について

$C = (\frac{1}{3})^{30} = 3^{-30}$ とおくと、

$\log_{10}C = \log_{10} (3^{-30}) = -30 \log_{10} 3$

$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ とすると、

$\log_{10}C = -30(0.4771) = -14.313 = -15 + 0.687$

これは、小数第15位に初めて0でない数字が現れることを意味します。

3. 最終的な答え

(1) 小数第4位

(2) 小数第6位

(3) 小数第15位