与えられた式 $(a+2b)^2 (a^2+4b^2)^2 (a-2b)^2$ を展開し、できる限り簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b)^2 (a^2+4b^2)^2 (a-2b)^2$ を展開し、できる限り簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(a+2b)^2$ と $(a-2b)^2$ の積を計算します。

$(a+2b)(a-2b)$は和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いて計算できます。

$(a+2b)(a-2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$となります。

よって、

$(a+2b)^2 (a-2b)^2 = ((a+2b)(a-2b))^2 = (a^2 - 4b^2)^2$

次に、$(a^2 - 4b^2)^2$ と $(a^2 + 4b^2)^2$ の積を計算します。

$((a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2))^2$

同様に、和と差の積の公式を用いると、

$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = a^4 - 16b^4$

したがって、

$((a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2))^2 = (a^4 - 16b^4)^2$

$(a^4 - 16b^4)^2$を展開します。

$(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$の公式を用いると、

$(a^4 - 16b^4)^2 = (a^4)^2 - 2(a^4)(16b^4) + (16b^4)^2 = a^8 - 32a^4b^4 + 256b^8$

3. 最終的な答え

$a^8 - 32a^4b^4 + 256b^8$