定積分 $\int_{-1+a}^{1+a} (2ax - a^2 + 1) - x^2 dx$ を計算してください。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1+a}^{1+a} (2ax - a^2 + 1) - x^2 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$$(2ax - a^2 + 1) - x^2 = -x^2 + 2ax - a^2 + 1$$

次に、この関数を $x$ で積分します。

$$\int (-x^2 + 2ax - a^2 + 1) dx = -\frac{1}{3}x^3 + ax^2 - (a^2 - 1)x + C$$

ここで、積分範囲は $-1+a$ から $1+a$ ですので、定積分を計算します。

$$$$

\begin{aligned}

&\left[-\frac{1}{3}x^3 + ax^2 - (a^2 - 1)x\right]_{-1+a}^{1+a} \\

&= \left(-\frac{1}{3}(1+a)^3 + a(1+a)^2 - (a^2-1)(1+a)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1+a)^3 + a(-1+a)^2 - (a^2-1)(-1+a)\right) \\

&= -\frac{1}{3}(1+3a+3a^2+a^3) + a(1+2a+a^2) - (a^2+a^3-1-a) \\

&\quad - \left(-\frac{1}{3}(-1+3a-3a^2+a^3) + a(1-2a+a^2) - (-a^2+a^3+1-a)\right) \\

&= -\frac{1}{3} - a - a^2 - \frac{1}{3}a^3 + a + 2a^2 + a^3 - a^2 - a^3 + 1 + a - \left( \frac{1}{3} - a + a^2 - \frac{1}{3}a^3 + a - 2a^2 + a^3 + a^2 - a^3 - 1 + a \right) \\

&= -\frac{1}{3} + a + 1 + \frac{2}{3}a^3 - \left( \frac{1}{3} + a - 1 - \frac{2}{3} a^3\right) \\

&= -\frac{1}{3} + a + 1 + \frac{2}{3}a^3 - \frac{1}{3} - a + 1 + \frac{2}{3} a^3 \\

&= -\frac{2}{3} + 2 + \frac{4}{3}a^3 \\

&= \frac{4}{3} + \frac{4}{3}a^3 \\

&= \frac{4}{3}(1+a^3)

\end{aligned}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}(1+a^3)$