与えられた定積分 $\int_{-1+a}^{1+a} x^2 - (2ax - a^2 + 1) \, dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{-1+a}^{1+a} x^2 - (2ax - a^2 + 1) \, dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

\begin{align*} x^2 - (2ax - a^2 + 1) &= x^2 - 2ax + a^2 - 1 \\ &= (x-a)^2 - 1 \end{align*}

したがって、積分は

$$\int_{-1+a}^{1+a} (x-a)^2 - 1 \, dx$$

となります。

次に、$x-a = u$ と置換すると、$dx = du$ であり、積分範囲は $-1+a - a = -1$ から $1+a - a = 1$ に変わります。

$$\int_{-1}^{1} u^2 - 1 \, du$$

被積分関数は偶関数なので

$$2 \int_{0}^{1} u^2 - 1 \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} - u \right]_0^1$$

$$= 2 \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = 2 \left( \frac{1-3}{3} \right) = 2 \left( - \frac{2}{3} \right) = - \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{3}$