$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} - ax - b) = -\frac{3}{2}$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} - ax - b) = -\frac{3}{2}$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ が無限大に近づくときの極限を計算するために、$\sqrt{x^2+x+2} - ax - b$ を変形します。

$\sqrt{x^2 + x + 2} - ax - b = \sqrt{x^2 + x + 2} - (ax + b)$

$\sqrt{x^2 + x + 2} - (ax + b)$ に $\frac{\sqrt{x^2+x+2} + (ax+b)}{\sqrt{x^2+x+2} + (ax+b)}$ を掛けます。

$\frac{(\sqrt{x^2+x+2} - (ax+b))(\sqrt{x^2+x+2} + (ax+b))}{\sqrt{x^2+x+2} + (ax+b)} = \frac{(x^2 + x + 2) - (ax+b)^2}{\sqrt{x^2+x+2} + (ax+b)}$

分子を展開します。

$x^2 + x + 2 - (a^2x^2 + 2abx + b^2) = (1-a^2)x^2 + (1-2ab)x + (2-b^2)$

したがって、

$\frac{(1-a^2)x^2 + (1-2ab)x + (2-b^2)}{\sqrt{x^2+x+2} + (ax+b)}$

この極限が有限の値を持つためには、$x \to \infty$ で $x^2$ の項が消える必要があります。つまり、

$1 - a^2 = 0$

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2+x+2} \approx \sqrt{x^2} = |x|$となります。$x \to \infty$であるので $x>0$であるため、$\sqrt{x^2}=x$です。したがって、$a = 1$でなければなりません。($a = -1$のとき$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+x+2} - ax - b) = \infty$となります)

よって、$a=1$です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(1-2b)x + (2-b^2)}{\sqrt{x^2+x+2} + (x+b)}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(1-2b)x + (2-b^2)}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}} + (x+b)}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(1-2b) + \frac{(2-b^2)}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}} + (1+\frac{b}{x})}$

$x\to\infty$のとき$\frac{1}{x} \to 0$なので

$\frac{1-2b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1-2b}{2}$

これが$-\frac{3}{2}$に等しいので

$\frac{1-2b}{2} = -\frac{3}{2}$

$1-2b = -3$

$-2b = -4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 2$