$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、まず式を有利化します。つまり、$(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ に $(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})$ を掛けて割ります。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

分母と分子を整理すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+2) - (x+1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x+2}$ と $\sqrt{x+1}$ も $\infty$ に近づきます。したがって、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}$ も $\infty$ に近づきます。

よって、分母が無限大に発散するので、全体の極限は0に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0$

3. 最終的な答え

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