関数 $y = x(\log x)^2$ を微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = x(\log x)^2$ を微分しなさい。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせて解きます。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、合成関数の微分法は $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ です。

まず、$u = x$、$v = (\log x)^2$ とおきます。

すると、$u' = 1$ です。

次に、$v = (\log x)^2$ を微分します。$w = \log x$ とおくと、$v = w^2$ なので、$v' = 2w \cdot w' = 2\log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\log x}{x}$ となります。

したがって、積の微分法より、

$$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot \frac{2\log x}{x} = (\log x)^2 + 2\log x$$

3. 最終的な答え

$(\log x)^2 + 2\log x$