関数 $y = \frac{\log(x^2+x)}{\log(x+1)}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x^2+x)}{\log(x+1)}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{\log(x^2+x)}{\log(x+1)}$ を微分するために、商の微分公式を使用します。

商の微分公式は次の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここでは、$u = \log(x^2+x)$ 、$v = \log(x+1)$ とおきます。

まず、$u$ を微分します。

$u = \log(x^2+x) = \log(x(x+1)) = \log x + \log(x+1)$

$u' = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1+x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

次に、$v$ を微分します。

$v = \log(x+1)$

$v' = \frac{1}{x+1}$

商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)} \log(x+1) - (\log x + \log(x+1))\frac{1}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$= \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)} \log(x+1) - \frac{\log x}{x+1} - \frac{\log(x+1)}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$= \frac{\frac{(2x+1)\log(x+1) - x\log x - x\log(x+1)}{x(x+1)}}{(\log(x+1))^2}$

$= \frac{(2x+1)\log(x+1) - x\log x - x\log(x+1)}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$

$= \frac{(2x+1 - x)\log(x+1) - x\log x}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$

$= \frac{(x+1)\log(x+1) - x\log x}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{(x+1)\log(x+1) - x\log x}{x(x+1)\{\log(x+1)\}^2}$

したがって、選択肢5が正しいです。