関数 $y = x(\log x)^2$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x(\log x)^2$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

ここで、$u = x$、$v = (\log x)^2$ とおきます。

まず、$u' = \frac{d}{dx} x = 1$ です。

次に、$v' = \frac{d}{dx} (\log x)^2$ を計算します。

合成関数の微分法を用います。

$(\log x)^2$ の微分は、$2(\log x) \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$ となります。

$\frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x}$ であるから、$v' = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$ です。

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot \frac{2 \log x}{x} = (\log x)^2 + 2 \log x$ となります。

3. 最終的な答え

$y' = (\log x)^2 + 2 \log x$