関数 $y = \log\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} (-1 < x < 1)$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} (-1 < x < 1)$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて関数を簡単にする。

$y = \log\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \log\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2}[\log(1-x) - \log(1+x)]$

次に、各項を微分する。$\log$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用する。

$\frac{d}{dx}\log(1-x) = \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1-x}$

$\frac{d}{dx}\log(1+x) = \frac{1}{1+x} \cdot (1) = \frac{1}{1+x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-1-x-1+x}{(1-x)(1+x)}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-2}{1-x^2}\right] = \frac{-1}{1-x^2} = \frac{1}{x^2-1}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{x^2-1}$