関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。$u = x \log x - x$ とおくと、$y = u^2$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u$

次に、$u = x \log x - x$ を微分する。積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x - x) = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x) = (\log x + 1) - 1 = \log x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \log x = 2(x \log x - x) \log x$

3. 最終的な答え

$y' = 2(x \log x - x) \log x$

選択肢3が正解です。