領域 $E: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le z \le 1$ において、三重積分 $I = \iiint_E (x^2 + y^2)z^2 \,dx\,dy\,dz$ の値を求める。

1. 問題の内容

領域 $E: x^2 + y^2 \le 1, 0 \le z \le 1$ において、三重積分 $I = \iiint_E (x^2 + y^2)z^2 \,dx\,dy\,dz$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $E$ は円柱であり、$x^2 + y^2 \le 1$ は底面が半径1の円、$0 \le z \le 1$ は高さが1であることを表しています。

円柱座標系に変換すると、

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$ となり、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ となります。

このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。

積分範囲は $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le z \le 1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

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I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 z^2 r \,dr\,d\theta\,dz

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I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3 z^2 \,dr\,d\theta\,dz

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まず、$r$ について積分します。

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\int_{0}^{1} r^3 \,dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}

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したがって、

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I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} z^2 \,d\theta\,dz

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次に、$\theta$ について積分します。

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\int_{0}^{2\pi} \,d\theta = \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = 2\pi

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したがって、

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I = \int_{0}^{1} \frac{1}{4} z^2 (2\pi) \,dz = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} z^2 \,dz

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最後に、$z$ について積分します。

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\int_{0}^{1} z^2 \,dz = \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

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したがって、

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I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}

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3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$