次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x} + x)$

解析学極限有理化ルートx→-∞
2025/7/29

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。
limx(x2+2x+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x} + x)

2. 解き方の手順

まず、x2+2x+x\sqrt{x^2+2x} + x の形では計算しにくいので、有理化を試みます。
x2+2xx\sqrt{x^2+2x} - x を分子と分母に掛けると、
(x2+2x+x)(x2+2xx)x2+2xx=(x2+2x)x2x2+2xx=2xx2+2xx\frac{(\sqrt{x^2+2x} + x)(\sqrt{x^2+2x} - x)}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x}
となります。
次に、分母と分子を xx で割ります。
xx \to -\infty なので、x<0x < 0 であることに注意すると、x2=x=x\sqrt{x^2} = |x| = -x となります。
2xx2+2xx=2xx2(1+2x)x=2xx21+2xx=2xx1+2xx\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x})} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x}
x<0x<0なので、x=x|x| = -xです。
2xx1+2xx=2xx(1+2x+1)=2(1+2x+1)\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{-x(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)}
ここで、xx \to -\infty のとき、2x0\frac{2}{x} \to 0 となるので、
limx2(1+2x+1)=2(1+0+1)=2(1+1)=22=1\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1+0} + 1)} = \frac{2}{-(1+1)} = \frac{2}{-2} = -1

3. 最終的な答え

-1

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