次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x} + x)$解析学極限有理化ルートx→-∞2025/7/291. 問題の内容次の極限を求める問題です。limx→−∞(x2+2x+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+2x} + x)limx→−∞(x2+2x+x)2. 解き方の手順まず、x2+2x+x\sqrt{x^2+2x} + xx2+2x+x の形では計算しにくいので、有理化を試みます。x2+2x−x\sqrt{x^2+2x} - xx2+2x−x を分子と分母に掛けると、(x2+2x+x)(x2+2x−x)x2+2x−x=(x2+2x)−x2x2+2x−x=2xx2+2x−x\frac{(\sqrt{x^2+2x} + x)(\sqrt{x^2+2x} - x)}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x}x2+2x−x(x2+2x+x)(x2+2x−x)=x2+2x−x(x2+2x)−x2=x2+2x−x2xとなります。次に、分母と分子を xxx で割ります。x→−∞x \to -\inftyx→−∞ なので、x<0x < 0x<0 であることに注意すると、x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -xx2=∣x∣=−x となります。2xx2+2x−x=2xx2(1+2x)−x=2xx21+2x−x=2x∣x∣1+2x−x\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x})} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x}x2+2x−x2x=x2(1+x2)−x2x=x21+x2−x2x=∣x∣1+x2−x2xx<0x<0x<0なので、∣x∣=−x|x| = -x∣x∣=−xです。2x−x1+2x−x=2x−x(1+2x+1)=2−(1+2x+1)\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{-x(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)}−x1+x2−x2x=−x(1+x2+1)2x=−(1+x2+1)2ここで、x→−∞x \to -\inftyx→−∞ のとき、2x→0\frac{2}{x} \to 0x2→0 となるので、limx→−∞2−(1+2x+1)=2−(1+0+1)=2−(1+1)=2−2=−1\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1+0} + 1)} = \frac{2}{-(1+1)} = \frac{2}{-2} = -1limx→−∞−(1+x2+1)2=−(1+0+1)2=−(1+1)2=−22=−13. 最終的な答え-1