曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から、点 $(1, 0)$ へ引いた接線の方程式と、接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から、点 $(1, 0)$ へ引いた接線の方程式と、接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接点の座標を $(t, t^2 + 2t + 1)$ とおきます。

ステップ2: $y = x^2 + 2x + 1$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = 2x + 2$

ステップ3: 接点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線の傾きは $2t + 2$ です。

ステップ4: 接線の方程式を求めます。

接線の方程式は、

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

となります。

ステップ5: この接線が点 $(1, 0)$ を通るので、$(x, y) = (1, 0)$ を代入します。

$0 - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(1 - t)$

$-t^2 - 2t - 1 = 2t + 2 - 2t^2 - 2t$

$-t^2 - 2t - 1 = 2 - 2t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

ステップ6: 上記の$t$に関する二次方程式を解きます。

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

ステップ7: $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 + 2(3) + 1) = (3, 9 + 6 + 1) = (3, 16)$ であり、接線の傾きは $2(3) + 2 = 8$ となるので、接線の方程式は

$y - 16 = 8(x - 3)$

$y = 8x - 24 + 16$

$y = 8x - 8$

ステップ8: $t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1)^2 + 2(-1) + 1) = (-1, 1 - 2 + 1) = (-1, 0)$ であり、接線の傾きは $2(-1) + 2 = 0$ となるので、接線の方程式は

$y - 0 = 0(x + 1)$

$y = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = 8x - 8$ のとき、接点の座標: $(3, 16)$

接線の方程式: $y = 0$ のとき、接点の座標: $(-1, 0)$