3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数のグラフの概形を調べるために、微分を用いて増減を調べます。

与えられた関数を $f(x) = x^3 - 6x + 4$ とします。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}, \sqrt{2}$ において極値を持ちます。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$x = \sqrt{2}$ のとき、

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 < 0$ (なぜなら $\sqrt{2} > 1$ より $4\sqrt{2} > 4$)

$f(x)$ は $x = -\sqrt{2}$ で極大値をとり、$x = \sqrt{2}$ で極小値をとります。

極大値が正、極小値が負であることから、グラフはx軸と3回交わります。

したがって、実数解は3個です。

3. 最終的な答え

3個