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次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$

解析学極限三角関数lim x->0 sinx/x
2025/7/29

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。
lim⁡x→0sin⁡2x+sin⁡xx2+x\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をxxで割ります。
lim⁡x→0sin⁡2x+sin⁡xx2+x=lim⁡x→0sin⁡2xx+sin⁡xxx+1\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^2 x}{x} + \frac{\sin x}{x}}{x + 1}
次に、sin⁡2xx\frac{\sin^2 x}{x}をsin⁡xx⋅sin⁡x\frac{\sin x}{x} \cdot \sin xと変形します。
lim⁡x→0sin⁡xx⋅sin⁡x+sin⁡xxx+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} \cdot \sin x + \frac{\sin x}{x}}{x + 1}
ここで、lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 と lim⁡x→0sin⁡x=0\lim_{x \to 0} \sin x = 0 であることを利用します。
lim⁡x→0sin⁡xx⋅sin⁡x+sin⁡xxx+1=1⋅0+10+1=11=1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x} \cdot \sin x + \frac{\sin x}{x}}{x + 1} = \frac{1 \cdot 0 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1

3. 最終的な答え

1

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