次の極限を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n-1} + 3^n + n^2}{2^n + 4^n + n^3}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n-1} + 3^n + n^2}{2^n + 4^n + n^3}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ整理します。

$2^{2n-1} = \frac{1}{2} (2^2)^n = \frac{1}{2} 4^n$

分子は $\frac{1}{2}4^n + 3^n + n^2$ 、分母は $2^n + 4^n + n^3$ です。

$n \to \infty$ のとき、指数関数 $4^n$ が最も早く増加します。したがって、分子と分母を $4^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2}4^n + 3^n + n^2}{2^n + 4^n + n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^n + \frac{n^2}{4^n}}{(\frac{2}{4})^n + 1 + \frac{n^3}{4^n}}$

ここで、$0 < r < 1$ に対して $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ であり、任意の $k$ に対して $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0$ ($a>1$) であることを利用します。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^n = 0$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{4})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{4^n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{4^n} = 0$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^n + \frac{n^2}{4^n}}{(\frac{1}{2})^n + 1 + \frac{n^3}{4^n}} = \frac{\frac{1}{2} + 0 + 0}{0 + 1 + 0} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$