$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

極限を計算するために、分子と分母をそれぞれ展開し、$x^2$ で割ります。

まず、分子を展開します。

$(2x+1)(3x-1) = 6x^2 -2x + 3x - 1 = 6x^2 + x - 1$

次に、与えられた式全体を書き換えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2+x-1}{x^2+2x+3}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$

$x$ が無限大に近づくとき、$1/x$ および $1/x^2$ は $0$ に近づくことを利用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}} = \frac{6+0-0}{1+0+0} = \frac{6}{1} = 6$

3. 最終的な答え

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