与えられた極限 $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{ax+3} - 1}{x-2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{ax+3} - 1}{x-2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するためには、分母が $x \to 2$ で $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要があります。つまり、$\lim_{x \to 2} (\sqrt{ax+3} - 1) = 0$ となる必要があります。

$x=2$ を代入すると、

$\sqrt{2a+3} - 1 = 0$

$\sqrt{2a+3} = 1$

$2a+3 = 1$

$2a = -2$

$a = -1$

$a = -1$ のとき、極限は次のようになります。

$\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{-x+3} - 1}{x-2}$

このままでは不定形なので、分子を有理化します。

$\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{-x+3} - 1}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{-x+3} + 1}{\sqrt{-x+3} + 1}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{(-x+3) - 1}{(x-2)(\sqrt{-x+3} + 1)}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{-x+2}{(x-2)(\sqrt{-x+3} + 1)}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{-(x-2)}{(x-2)(\sqrt{-x+3} + 1)}$

$= \lim_{x\to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x+3} + 1}$

ここで、$x \to 2$ を代入すると、

$= \frac{-1}{\sqrt{-2+3} + 1}$

$= \frac{-1}{\sqrt{1} + 1}$

$= \frac{-1}{1 + 1}$

$= \frac{-1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$ であり、極限値は $-\frac{1}{2}$ です。