極限 $\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8} + b}{x+4} = \frac{1}{4}$ が成り立つような $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8} + b}{x+4} = \frac{1}{4}$ が成り立つような $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するためには、分母が0に近づくとき、分子も0に近づく必要があります。したがって、

$\sqrt{a(-4)+8} + b = 0$

$-4a + 8 \ge 0$ より、$a \le 2$ である必要があります。

$\sqrt{-4a+8} + b = 0$ より、$b = -\sqrt{-4a+8}$

このとき、与えられた極限の式は不定形になるので、ロピタルの定理を使うか、または式を変形して極限を求めます。

ここでは式を変形して求めます。

$\lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8} + b}{x+4} = \lim_{x \to -4} \frac{\sqrt{ax+8} - \sqrt{-4a+8}}{x+4}$

$=\lim_{x \to -4} \frac{(\sqrt{ax+8} - \sqrt{-4a+8})(\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8})}{(x+4)(\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8})}$

$=\lim_{x \to -4} \frac{(ax+8) - (-4a+8)}{(x+4)(\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8})}$

$=\lim_{x \to -4} \frac{ax+4a}{(x+4)(\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8})}$

$=\lim_{x \to -4} \frac{a(x+4)}{(x+4)(\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8})}$

$=\lim_{x \to -4} \frac{a}{\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8}}$

$=\frac{a}{\sqrt{-4a+8} + \sqrt{-4a+8}} = \frac{a}{2\sqrt{-4a+8}}$

これが $\frac{1}{4}$ に等しいので、

$\frac{a}{2\sqrt{-4a+8}} = \frac{1}{4}$

$4a = 2\sqrt{-4a+8}$

$2a = \sqrt{-4a+8}$

両辺を2乗して、$4a^2 = -4a+8$

$4a^2 + 4a - 8 = 0$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

$a = -2, 1$

$a=-2$ のとき、$b = -\sqrt{-4(-2)+8} = -\sqrt{16} = -4$

$a=1$ のとき、$b = -\sqrt{-4(1)+8} = -\sqrt{4} = -2$

$a = -2$ の場合、$\lim_{x \to -4} \frac{a}{\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8}} = \frac{-2}{2\sqrt{16}} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$ となり、問題文の条件を満たしません。

$a = 1$ の場合、$\lim_{x \to -4} \frac{a}{\sqrt{ax+8} + \sqrt{-4a+8}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$ となり、問題文の条件を満たします。

したがって、$a = 1$, $b = -2$

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -2$