関数 $y = \log_2{x}$ について、$\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ の範囲における $y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2{x}$ について、$\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ の範囲における $y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数関数 $y = \log_2{x}$ は底が2であり、2 > 1 であるため、単調増加関数です。したがって、$x$ が増加すると $y$ も増加します。

$x$ の範囲は $\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ なので、それぞれの端点の $y$ の値を計算します。

まず、$x = \frac{1}{4}$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \log_2{\frac{1}{4}} = \log_2{2^{-2}} = -2$

次に、$x = 2\sqrt{2}$ のときの $y$ の値を求めます。

$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

$y = \log_2{2\sqrt{2}} = \log_2{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}$

$x$ の範囲が $\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ であるため、$y$ の範囲は $-2 < y \le \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < y \le \frac{3}{2}$