関数 $y = \log_2 x$ において、$\frac{1}{2} < x \leq 3$ の範囲における値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x$ において、$\frac{1}{2} < x \leq 3$ の範囲における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数関数 $y = \log_2 x$ のグラフの形状を考えます。底が2であることから、この関数は単調増加関数です。つまり、$x$ が増加すると、$y$ も増加します。したがって、$x$ が $\frac{1}{2}$ に近いほど $y$ は小さくなり、$x$ が 3 に近いほど $y$ は大きくなります。

次に、与えられた $x$ の範囲の両端における $y$ の値を計算します。

* $x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

* $x = 3$ のとき、$y = \log_2 3$

$x$ の範囲は $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるため、$y$ の範囲は $-1 < y \leq \log_2 3$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \leq \log_2 3$