以下の極限を計算してください。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$

1. 問題の内容

以下の極限を計算してください。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$をかけて割ることで、式を変形します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

分子を計算すると、

$(\sqrt{4x^2 - 3x + 1})^2 - (2x)^2 = (4x^2 - 3x + 1) - 4x^2 = -3x + 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

次に、分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$と$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

しかし、分母が0になってしまうため、これは不定形です。

元の式に戻って考えます。$\sqrt{4x^2 -3x+1}$ は $2x$ に近い値なので、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} = 2x \sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}}$と変形できます。

$\sqrt{1 + y} \approx 1 + \frac{y}{2}$という近似式を$y \approx 0$のときに用いると、

$\sqrt{1 - \frac{3}{4x} + \frac{1}{4x^2}} \approx 1 - \frac{3}{8x}$

したがって、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} \approx 2x (1 - \frac{3}{8x}) = 2x - \frac{3}{4}$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to \infty} (2x - \frac{3}{4} + 2x) = \lim_{x \to \infty} (4x - \frac{3}{4}) = \infty$

これは発散します。

再度検討します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2(4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})} - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{|x|\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2x}$

$x \to \infty$なので、$x>0$より、$|x|=x$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{x\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$は$2x$よりわずかに小さいので、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x < 0$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$