0 ≤ θ < 2π のとき、次の方程式を解く問題です。 (1) $2\sin^2{\theta} + \sin{\theta} = 0$ (2) $2\sin^2{\theta} - 3\cos{\theta} = 0$

1. 問題の内容

0 ≤ θ < 2π のとき、次の方程式を解く問題です。

(1) $2\sin^2{\theta} + \sin{\theta} = 0$

(2) $2\sin^2{\theta} - 3\cos{\theta} = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin{\theta}$ でくくると、

$\sin{\theta}(2\sin{\theta} + 1) = 0$

したがって、$\sin{\theta} = 0$ または $2\sin{\theta} + 1 = 0$。

$\sin{\theta} = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi, 2\pi$。ただし、0 ≤ θ < 2π より、$\theta = 0, \pi$。

$2\sin{\theta} + 1 = 0$ のとき、$\sin{\theta} = -\frac{1}{2}$。よって、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$。

(2)

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$ を用いて、$\sin^2{\theta}$ を $\cos{\theta}$ に変換すると、

$2(1 - \cos^2{\theta}) - 3\cos{\theta} = 0$

$2 - 2\cos^2{\theta} - 3\cos{\theta} = 0$

$2\cos^2{\theta} + 3\cos{\theta} - 2 = 0$

$(2\cos{\theta} - 1)(\cos{\theta} + 2) = 0$

したがって、$2\cos{\theta} - 1 = 0$ または $\cos{\theta} + 2 = 0$。

$2\cos{\theta} - 1 = 0$ のとき、$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$。よって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi$。

$\cos{\theta} + 2 = 0$ のとき、$\cos{\theta} = -2$。しかし、$-1 \le \cos{\theta} \le 1$ より、$\cos{\theta} = -2$ は解なし。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi$