A地点からB地点まで東西に伸びる道路に、南側に4m間隔でポプラ、北側に6m間隔でイチョウを植えたところ、街路樹の合計が122本になった。ポプラの木がx本、イチョウの木がy本であるとき、以下の問いに答える。 (1) AB間の距離をxを用いて表せ。 (2) AB間の距離について、xとyの関係式を求めよ。 (3) ポプラの木とイチョウの木はそれぞれ何本か。また、AB間の距離を求めよ。

1. 問題の内容

A地点からB地点まで東西に伸びる道路に、南側に4m間隔でポプラ、北側に6m間隔でイチョウを植えたところ、街路樹の合計が122本になった。ポプラの木がx本、イチョウの木がy本であるとき、以下の問いに答える。

(1) AB間の距離をxを用いて表せ。

(2) AB間の距離について、xとyの関係式を求めよ。

(3) ポプラの木とイチョウの木はそれぞれ何本か。また、AB間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AB間の距離をxを用いて表す。

ポプラは4m間隔でx本植えられているので、AB間の距離は、$4(x-1)$メートルとなる。

(2) AB間の距離について、xとyの関係式を求める。

イチョウは6m間隔でy本植えられているので、AB間の距離は、$6(y-1)$メートルとなる。

したがって、$4(x-1) = 6(y-1)$が成り立つ。

これを整理すると、$4x - 4 = 6y - 6$となり、$4x - 6y = -2$。

両辺を2で割ると、$2x - 3y = -1$となる。

(3) ポプラの木とイチョウの木はそれぞれ何本か。また、AB間の距離を求める。

街路樹の合計が122本なので、$x + y = 122$。

(2)で求めた関係式と合わせて、以下の連立方程式を解く。

$2x - 3y = -1$

$x + y = 122$

2つ目の式を2倍して、$2x + 2y = 244$

この式から$2x - 3y = -1$を引くと、$5y = 245$

よって、$y = 49$

$x + y = 122$に代入すると、$x + 49 = 122$

よって、$x = 73$

ポプラの木は73本、イチョウの木は49本である。

AB間の距離は、$4(x-1) = 4(73-1) = 4(72) = 288$メートルである。

また、$6(y-1) = 6(49-1) = 6(48) = 288$メートルである。

3. 最終的な答え

(1) AB間の距離: $4(x-1)$ メートル

(2) xとyの関係式: $2x - 3y = -1$

(3) ポプラの木: 73本、イチョウの木: 49本、AB間の距離: 288メートル