(1) 円の中心Oと円周上の点A, B, Cを結んだ図において、$\angle ABC = 55^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$であるとき、$\angle AOB = \theta$を求める。 (2) 円の外部の点Pから円に2本の接線を引き、接点をA, Bとする。円周上の点Cについて、$\angle APB = 30^\circ$であるとき、$\angle ACB = \theta$を求める。

1. 問題の内容

(1) 円の中心Oと円周上の点A, B, Cを結んだ図において、$\angle ABC = 55^\circ$, $\angle ACB = 35^\circ$であるとき、$\angle AOB = \theta$を求める。

(2) 円の外部の点Pから円に2本の接線を引き、接点をA, Bとする。円周上の点Cについて、$\angle APB = 30^\circ$であるとき、$\angle ACB = \theta$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle ABC$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAC$を求める。

$$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 55^\circ - 35^\circ = 90^\circ$$

円周角の定理より、$\angle AOB = 2 \angle ACB$（ただし、$\angle ACB$は$\angle AOB$に対する円周角）。しかし、点Cは円周上の位置関係から、$\angle BAC$に対する中心角を求める方が容易である。

中心角は円周角の2倍であるから、

$$\angle BOC = 2 \times 55^\circ = 110^\circ$$

$$\angle AOC = 2 \times 35^\circ = 70^\circ$$

したがって、$\theta = \angle AOB = 360^\circ - \angle BOC - \angle AOC$

$$\theta = 360^\circ - 110^\circ - 70^\circ = 180^\circ$$

$\angle AOB$ は$\angle ACB$ に対する中心角ではないので、$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$ とはならない。

ここで、$OB = OA$ であるから、$\triangle OAB$ は二等辺三角形である。$\angle OBA = \angle OAB$ であり、$2\angle OBA + \theta = 180^\circ$ である。$\angle OBC = 55^\circ$, $\angle OCA = 35^\circ$ であることから、$\angle ABO + \angle ACO = 90^\circ$である。

$\theta = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$。$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$ という公式は、点Oが$\angle ACB$の中にあるときのみ成立する。この問題では、点Oは$\angle ACB$の外にある。

(2)

$\angle APB = 30^\circ$で、PAとPBは円の接線である。

円の中心をOとすると、OAとPAは垂直、OBとPBは垂直である。つまり、$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$である。

四角形OAPBの内角の和は$360^\circ$なので、

$\angle AOB = 360^\circ - \angle OAP - \angle OBP - \angle APB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

円周角の定理より、$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$

$\theta = \angle ACB = \frac{1}{2} \times 150^\circ = 75^\circ$

$\angle ACB = 75^\circ$、または、$\angle ACB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$\angle ACB$は$\angle AOB$に対応する円周角なので、$\angle ACB = 75^\circ$ もしくは $105^\circ$となる。しかし、図を見ると$\theta < 90^\circ$ なので、$\theta = 75^\circ$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 180^\circ$

(2) $\theta = 75^\circ$