40枚の硬貨を同時に投げたとき、表が出た硬貨の枚数をXとする。Xの期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

40枚の硬貨を同時に投げたとき、表が出た硬貨の枚数をXとする。Xの期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布に従う確率変数の期待値、分散、標準偏差を求める問題です。

硬貨を投げる試行は独立であり、それぞれの硬貨で表が出る確率は $1/2$ です。したがって、Xは二項分布 $B(n, p)$ に従います。ここで、$n = 40$ (試行回数)、$p = 1/2$ (表が出る確率) です。

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数Xについて、以下の公式が成り立ちます。

* 期待値: $E(X) = np$

* 分散: $V(X) = np(1-p)$

* 標準偏差: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1-p)}$

これらの公式を用いて、問題の値を計算します。

$E(X) = np = 40 \times \frac{1}{2} = 20$

$V(X) = np(1-p) = 40 \times \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = 40 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 10$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$E(X) = 20$

$V(X) = 10$

$\sigma(X) = \sqrt{10}$